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2021-04-08

二阶行列式

设有二元线性方程组
$a_1_1x_1 + a_1_2x_2 = b_1 \\ a_2_1x_1 + a_2_2x_2 = b_2$

用消元法，求得，当
$a_1_1a_2_2 - a_1_2a_2_1 \neq 0$ 方程组的解为：
$x_1 = \frac{b_1a_2_2 - a_1_2b_2}{a_1_1a_2_2 - a_1_2a_2_1} \\ x_2 = \frac{a_1_1b_2 - b_2a_2_1}{a_1_1a_2_2 - a_1_2a_2_1}$ 其中，分母构成二阶行列式，记作
$D = \left| \begin{matrix} a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1 & a_2_2 \end{matrix} \right|$

$a_1_1$ 到 $a_2_2$ 称为 主对角线
$a_1_2$ 到 $a_2_1$ 称为 副对角线
二阶行列式的值：主对角线的乘积 - 副对角线的乘积。

因此， $x_1$ 和 $x_2$ 的分子可以写成为：
$D_1 = b_1a_2_2 - a_1_2b_2 = \left|\begin{matrix} b_1 & a_1_2 \\ b_2 & a_2_2 \end{matrix}\right| \\ D_2 = a_1_1b_2 - b_1a_2_1 = \left|\begin{matrix} a_1_1 & b_1 \\ a_1_1 & b_2 \end{matrix}\right|$

可得
$x_1 = \frac{D_1}{D}, x_2 = \frac{D_2}{D}$

Nothing